Convergence of an adaptive finite element method on quadrilateral meshes

We prove convergence and optimal complexity of an adaptive finite element algorithm on quadrilateral meshes. The local mesh refinement algorithm is based on regular subdivision of marked cells, leading to meshes with hanging nodes. In order to avoid multiple layers of these, a simple rule is defined, which leads to additional refinement. We prove an estimate for the complexity of this refinement technique. As in former work, we use an adaptive marking strategy which only leads to refinement according to an oscillation term, if it is dominant. In comparison to the case of triangular meshes, the a posteriori error estimator contains an additional term which implicitly measure the deviation of a given quadrilateral from a parallelogram. The well-known lower bound of the estimator for the case of conforming P 1 elements does not hold here. We instead prove decrease of the estimator, in order to establish convergence and complexity estimates. Key-words: Adaptive finite elements, convergence of adaptive algorithms, complexity estimates, quadrilateral meshes, hanging nodes ∗ LMA-UPPA-INRIA-Bordeaux-Sud-Ouest-Concha in ria -0 03 42 67 2, v er si on 1 28 N ov 2 00 8 Convergence d’une méthode éléments finis adaptative pour des maillages quadrilatéraux Résumé : Nous démontrons la convergence d’un algorithme d’éléments finis adaptatifs sur un maillage formés de quadrilatéres. Le raffinement local du maillage consiste en une subdivision réguliére des mailles marquées, faisant ainsi apparaitres des noeuds flottants. De plus, nous interdisons que deux mailles voisines aient deux niveaux de raffinements d’cart, et pour cela nous sommes contraints d’introduire des raffinement supplémentaires. Nous donnons alors une estimation de la complexité de cette technique de raffinement. Par rapport au cas des maillages triangulaires l’estimateur d’erreur contient un terme supplémentaire mesurant la dformation des quadrilatéres par rapport à un parallélogramme. Le résultat classiqe en P 1 sur la borne inférieure de l’estimateur n’est plus vérifié dans ce cas et nous dḿontrons alors une décroissance de l’estimateur pour établir la convergence et analyser la complexité de la méthode Mots-clés : Eléments finis adaptatifs, convergence d’algorithmes adaptatifs, estimation de la complexité, maillages quadrilatéraux, noeuds flottants in ria -0 03 42 67 2, v er si on 1 28 N ov 2 00 8 Convergence of an adaptive finite element method on quadrilateral meshes 3